Для развития современной техники и экономики, а также многих областей
науки характерна не только автоматизация отдельных операций и целых
производственных процессов, но и автоматизация самих процессов
управления. Аппаратура, которая используется для этой цели, усложняется
с каждым годом, в связи с тем что на нее возлагается решение все более и
более ответственных задач. Нужно признать, что без такого усложнения
были бы невозможны многие поразительные достижения последних лет. Так,
без сложных систем дистанционного управления было бы немыслимо наладить
эксплуатацию атомных электростанций или осуществить такие небывалые
операции, как фотографирование обратной стороны Луны. А какие
колоссальные и сложные вычисления производят быстродействующие
электронные машины! Но здесь возникает проблема: чем сложнее такие
управляющие устройства, тем выше предъявляемые к их надежности
требования, т. е. к их способности в течение длительного времени
безотказно выполнять свои функции.
Действительно, нетрудно представить себе, что произойдет, если откажет
система управления на атомной электростанции или в автоблокировке на
железной дороге, на крупной энергосистеме или на химическом заводе.
Но не только для производства или запуска космических кораблей нужна
высокая надежность аппаратуры. Самолеты должны летать без аварий и
послушно выполнять волю пилота, автомобили - безотказно перевозить грузы
и пассажиров, станки - обрабатывать изделия с заданной точностью,
искусственное сердце или искусственные почки - безупречно выполнять свои
функции во время сложнейших операций...
Особенно высоки требования к надежности той аппаратуры, которую трудно
или невозможно исправить. А такой аппаратуры теперь в распоряжении
человечества уже много и будет все больше.
Чтобы представить себе сложность современной аппаратуры, обратимся к
примеру, не вдаваясь в технические детали. Современная электронная
машина, производящая огромные вычислительные работы, решающая логические
задачи (например, перевод с одного языка на другой), управляющая
производственными процессами, собрана из многих тысяч диодов, триодов,
конденсаторов, сопротивлений, элементов памяти (ферритовых колечек),
подводящих проводов и пр. Каждый из составляющих элементов не абсолютно
надежен, т. е. имеется вероятность выхода его из строя в любой
промежуток времени. Чтобы такое сложное оборудование действовало,
необходимо каждый элемент поддерживать в рабочем состоянии.
Вот почему так важно заранее, еще до начала работы механизма, научиться
рассчитывать его надежность, а также выбирать из различных вариантов
конструкции ту, которая будет обладать наибольшей надежностью при
сохранении прочих необходимых качеств. В этих расчетах обойтись без
математических методов невозможно, и поэтому в теории надежности
математика занимает значительное место.
Первая задача, которую приходится решать в теории надежности, состоит в
следующем: аппаратура, как правило, выходит из строя из-за порчи
какого-либо составляющего ее элемента. Сколько времени проходит от
начала его работы до его порчи? На этот вопрос не может быть
однозначного ответа. Многочисленные наблюдения и специальные испытания
показали, что даже у изделий, изготовленных одновременно, время службы
далеко не одинаково. Взятый наудачу из продукции, изготовленной одним
рабочим за смену, полупроводниковый диод или конденсатор может
проработать и несколько десятков тысяч часов, и только какую-нибудь
сотню часов. Речь может идти не о точном предсказании числа часов,
которое проработает деталь, а лишь о вероятности F (t) того, что она
проработает не меньше t единиц времени. Хотя для различных деталей эта
вероятность различна, все же есть и некие общие черты их поведения.
Прежде всего, в начале работы (так называемый период приработки)
вероятность выхода из рабочего состояния повышена; далее наступает более
или менее длительный период стабильности, когда вероятность отказа за
единицу времени остается неизменной; наконец, наступает период старения,
когда вероятность порчи быстро возрастает.
Важно отметить, что если для отдельных деталей закономерности
распределения отказов весьма сложны, то для сложных систем, состоящих из
большого числа элементов и деталей, удается вывести общие и простые
закономерности.
Предположим, что каждый испортившийся элемент немедленно заменяется
новым. Пусть интересующий нас аппарат состоит из очень большого числа
элементов, каждый из которых редко выходит из рабочего состояния по
сравнению с отказами хотя бы одного из остальных элементов, и отказы
элементов независимы друг от друга. В этих предположениях доказывается
следующая важная теорема: вероятность того, что за промежуток времени t
произойдет п отказов, приближенно равна:
Первая задача, которую приходится решать в теории надежности, состоит в
следующем: аппаратура, как правило, выходит из строя из-за порчи
какого-либо составляющего ее элемента. Сколько времени проходит от
начала его работы до его порчи? На этот
е 2,7182..., а означает положительное число, не зависящее от t.
Физический смысл числа прост - это среднее число отказов системы в
единицу времени.
Чтобы иметь возможность заранее рассчитать надежность изделия, нужно
знать надежность тех элементов, из которых оно будет изготовлено. С этой
целью на заводах
устраивают испытания и по их результатам делают заключение о качестве
элементов. Выбор тех величин, которые должны быть оценены на основании
испытаний, условия, в которых их следует производить, а также точность,
которую нужно получить, не могут быть назначены произвольно; они должны
определяться физическими и техническими соображениями. В каких условиях
придется работать изделию, как долго оно будет находиться в тех иЛи иных
условиях? Все это должно быть задано либо конструктором, либо
эксплуатационником. Задача математика состоит в выработке плана: сколько
изделий нужно испытывать, в течение какого срока, следует ли отказавшие
изделия заменять на новые или нет? Далее, математик должен на основании
испытаний выявить наличие связей между величинами, которые интересуют
практика. Математик должен указать и тот метод, которым следует
пользоваться для обработки результатов наблюдений, а также сделать
выводы из этой обработки.
Пусть, для примера, нам известно, что функция F {t), введенная в начале
этого раздела, задается формулой: F (t) = e~li, где X - неотрицательная
постоянная. Требуется оценить неизвестную величину X на основании
испытаний. С этой задачей приходится часто встречаться в реальной
обстановке, поскольку к этой функции неизбежно приводит тот общий
результат, который был сформулирован в теореме об отказах сложной
аппаратуры.
Среди многих планов испытаний на надежность, предложенных к настоящему
времени, мы укажем лишь один: на испытание ставится N одинаковых
изделий, отказавшее изделие немедленно заменяется новым, испытания
производятся до получения г отказов (например, г = 5 или 8). Какие
величины необходимо замерять для возможно лучшей оценки неизвестного X ?
Математическая статистика учит, что для этой цели достаточно измерить
лишь момент наступления г-го отказа. Если он произошел в момент tr, то
лучшей оценкой для X будет число:
Если же мы отметим дополнительно момент первого, второго и последующих
по порядку отказов (t\ < t2 < ... < tr). то это дополнительное знание не
улучшит оценки величины л.
Понятно, что испытания нужно производить и для того, чтобы наблюдать за
ходом производства и за сохранением устойчивости параметров (величин),
определяющих качество изделий.
В природе нет абсолютно надежных элементов и изделий. Каждый элемент,
как бы совершенен он ни был, со временем теряет свои свойства. Получение
элементов сверхвысокой надежности часто либо вообще недоступно
существующему уровню техники, либо требует таких больших расходов, что
они уже не могут быть оправданы. Приходится для повышения надежности
изделий идти другими путями. Один из самых распространенных путей
повышения надежности - путь резервирования. Сущность резервирования
состоит в том, что в систему вводятся избыточные элементы, узлы и даже
целые агрегаты, которые включаются в работу по мере выхода из рабочего
состояния основных элементов (узлов, агрегатов).
Так, на железнодорожных станциях стоят резервные тепловозы, готовые в
любой момент сменить неисправный рейсовый тепловоз; на крупных
аэродромах есть резервные самолеты; на крупных электростанциях -
резервные генераторы: они не дают тока в сеть, но в любой момент могут
заменить выбывший из строя генератор. Одна из элементарных задач,
которую мы сможем немедленно решить, состоит в следующем. В системе
имеются элементы определенного типа; в работе должно постоянно находится
п элементов. Как изменится надежность устройства, если, помимо п
основных элементов, в нагруженном резерве (т. е. в таком же состоянии, в
каком находятся работающие элементы) находится еще т элементов?
Если через р обозначить вероятность того, что данный элемент не выйдет
из рабочего состояния в течение необходимого нам времени, то вероятность
того, что ни один из п элементов за этот срок не выйдет из строя, по
теореме умножения вероятностей равна р". Это вероятность безотказной
работы системы элементов, если отсутствуют резервные элементы. Пусть
теперь в системе имеется т резервных элементов. В силу теоремы сложения
вероятностей вероятность того, что в течение времени t в системе будет
сохраняться не менее п исправных элементов, равна:
Это выражение - краткая запись суммы | т + 1 слагаемых. Каждое из них
записано под знаком вместо i нужно последовательно подставлять числа
натурального ряда от 0 до т включительно.
Рассмотрим простой схематический числовой пример. Пусть п = 4, т = 1, р
= 0,9. Нетрудно подсчитать, что вероятность безотказной работы системы
без резерва равна 0,6561, а при одном резервном элементе становится
равной 0,9185. Если бы наша система имела не один, а два резервных
элемента, то вероятность ее безотказной работы поднялась бы до 0,9841.
Мы видим, что даже небольшое число резервных элементов резко увеличивает
надежность системы. Вот почему только один резервный генератор на
электростанции почти полностью исключает возможность резкого уменьшения
выработки электроэнергии.
Задача о резервировании становится более сложной и интересной, когда
учитывается дополнительное обстоятельство - восстановление вышедших из
строя элементов. В действительности во многих случаях, как только
элемент выходит из рабочего состояния, его тотчас начинают
ремонтировать.
Среди множества вопросов, связанных с резервированием, отметим сейчас
только один: сколько элементов необходимо иметь в резерве, чтобы
добиться заданной надежности системы? Этот вопрос возникает постоянно в
самых разнообразных областях техники. Действительно, для уверенной
эксплуатации системы управления нужно знать, какие ее узлы необходимо
зарезервировать и сколько каждого из них должно быть в резерве. Подобные
же задачи возникают и при расчете резерва генераторов на электростанции,
и при оснащении космических кораблей, несущих в космос исследователей и
приборы.
Как мы говорили, резервирование требует введения в систему избыточных
элементов, а значит, увеличивает ее объем, стоимость и утяжеляет ее. Все
эти моменты весьма существенны, особенно для аппаратуры самолетов,
космических кораблей, для приборов, которые предназначены для вживления
в организм (например, стимуляторы сердечной деятельности), для
аппаратов, используемых в послеоперационный период, слуховых аппаратов и
пр. В такого рода аппаратуре необходимо экономить буквально каждый грамм
веса и каждый сантиметр объема. В связи с этим возникает новая
интересная задача: найти такое резервирование, при котором система
оказывается мак симально надежной, и при этом вес аппаратуры, ее объем и
стоимость не должны превышать заданных размеров. Так, для примера
Математическая особенность поставленной задачи в том, что мы ищем
решение среди целых положительных чисел п{.
При конструировании новых изделий и при расчете возможных улучшений
прежних исключительно важно знать, какое влияние на общую надежность
системы оказывает тот или иной элемент, тот или иной блок. Это знание
позволяет уверенно направлять исследования на поиски новых, более
надежных элементов. Но какие элементы необходимо в первую очередь
улучшать? Очевидно, те, которые максимально улучшают надежность системы.
Здесь, как это ни кажется парадоксальным, может случиться, что
сравнительно ненадежные элементы будут оказывать относительно малое
влияние на надежность системы в целом, и нужно улучшать в первую очередь
уже весьма надежные элементы. Как это может быть? Очень просто: может
случиться, что надежных элементов в системе много, а менее надежных -
лишь единицы.
Для пояснения этого утверждения приведем числовой пример. Пусть в
интересующей нас системе имеется шесть элементов первого типа и один
элемент второго. Надежность элемента первого типа равна 0,9, а второго -
0,8. Надежность всей системы, в силу теоремы умножения вероятностей,
равна 0,9б 0,8. Легко подсчитать, что увеличение надежности элемента
второго типа на 10% увеличит надежность системы только на 10%.
Увеличение же надежности элемента первого типа только на 6% увеличит
надежность системы почти на 40 %
Этот небольшой подсчет очень поучителен и показывает, как важно
инженеру, физику и конструктору уметь пользоваться математическим
аппаратом. Такой подсчет может направить мысль исследователя в верном
направлении, может показать, где таятся неполадки конструкции.
Мы затронули лишь некоторые вопросы новой науки - теории надежности.
Возможно, некоторым из наших читателей придется в будущем вплотную
заняться за-1 дачами теории надежности и развивать ее в разных
направлениях, изобретать новые, | более надежные элементы, создавать
надежные схемы, разрабатывать методы исследования и доказывать новые
общие теоремы этой теории.
Б.В. Греденко
Размещение фотографий и
цитирование статей с нашего сайта на других ресурсах разрешается при
условии указания ссылки на первоисточник и фотографии.
